Как определить угол 90 градусов на плоскости: Как построить прямой угол на земле при помощи простейших инструментов?

Что такое Угол? Определение, виды, как обозначают? Примеры

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.

Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Что такое вершина и стороны угла:

• Стороны угла — лучи, из которых состоит угол.
• Вершина угла — общее начало сторон угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.

Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

• острый
• прямой
• тупой
• развернутый
• выпуклый
• полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть < 90°.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен половине развернутого угла, то есть = 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Развернутый угол — это открытый угол, который образован двумя лучами и равен сумме двух прямых углов. Развернутый угол равен 180°. Как выглядит развернутый угол показано на первой картинке.

Неразвернутый угол — это любой угол, который не является развернутым, то есть не равен 180°.

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого:
90° < тупой угол < 180°.

Выпуклый угол — это угол, который больше развернутого угла, но меньше полного:
180° < выпуклый угол < 360°.

Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом. Он равен сумме четырех прямых углов, то есть = 360°.

Прилежащие углы — это пара углов с общей вершиной и стороной, другие стороны при этом лежат по разные стороны от общей стороны.

На картинке мы видим два прилежащих угла ∠AOB и ∠BOC, общую вершину O и общую сторону OB.

Можно сформулировать определение по-другому: если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два, то образованные углы будут прилежащими.

Чтобы найти угол, который разделен лучом, нужно сложить полученные углы: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Из этого можно выделить следующие верные разности:

• ∠AOC = ∠AOB — ∠COB,
• ∠COB = ∠AOB — ∠AOC.

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:

1. Вершину 𝐵 одного угла совмещаем с вершиной 𝑁 другого угла.
2. Сторону 𝐵𝐴 одного угла накладываем на сторону 𝑁𝑀 другого угла так, чтобы стороны 𝐵𝐶 и 𝑁𝐾 располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶<∠𝑀𝑁𝐾.

Сравнить углы можно также, измерив их величины. Для этого понадобится специальный инструмент для построения и измерения углов — транспортир. Вот, как он выглядит:

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.

Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

• Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
• Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.
• Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart и попробуйте сами!

Угол, виды углов и их измерение

Определение. Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла.

Если плоскость круга разделить на 360 равных частей радиусами, то часть круга — это угловой градус, который обозначается знаком « ° » (читается — «градус»).

Следовательно, 1° = часть круга.

Круг составит * 360 = 1° * 360 = 360°.

Угол, равный плоскости круга, составляет 360° и называется полным углом.

Если плоскость круга разделить диаметром (двумя радиусами, расположенными на одной прямой линии) на две равные части, то плоскость полукруга составит угол в 360′: 2 = 180°.

Угол, равный полуплоскости круга, составляет 180° и называется развернутым углом.

Если плоскость круга разделить двумя диаметрами (горизонтальной и вертикальной линиями) на четыре равные части, то плоскость одной части составит угол в 360° : 4 = 90°.

Угол, равный четвертой части круга, составляет 90° и называется прямым углом.

Отвлекаясь от плоскости, в которой расположен круг, изобразим углы таким образом:

Углы равны, если равны их градусные меры или у них при наложении одного угла на другой совпадают вершины и соответствующие стороны углов.

Например, прямой угол (рис. 1) мы трижды развернули вокруг вершины угла, при этом на двух рисунках (рис. 2 и 4) мы передвинули вершину угла по плоскости листа.

Инструментом для измерения углов служит транспортир.

Для измерения угла следует совместить вершину угла и штрих с цифрой 0 на шкале транспортира. Одна сторона угла должна совпадать с прямой линией транспортира, на которой стоит 0, а вторая сторона угла пересекать шкалу транспортира (полуокружность с разметкой в угловых градусах).

На пересечении стороны угла и шкалы транспортира считывается градусная мера данного угла.

Мы рассмотрели полный, развернутый и прямой углы. Существует еще два типа углов: острые и тупые. Все острые углы имеют градусную меру в пределах: больше 0° и меньше 90°.

Например. острые углы:

Углы, градусная мера которых больше 90°, но меньше 180°*, называются тупыми углами.

Тупые углы (штриховой линией обозначен прямой угол в составе тупого угла) приведены на рис. 5, 6,7.

Чтобы построить заданный в градусной мере угол, необходимо иметь транспортир, линейку и карандаш.

«Строим углы без транспортира» (5 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

г.Нелидово Тверской области

Выполнила: ученица 5а класса

Генченкова Елизавета

Руководитель работы: Орлова Ольга Геннадьевна

2017 г.

Объект исследования:
углы с различными градусными мерами; инструменты для измерения углов.

Предмет исследования:
процесс построения углов без использования транспортира.
Гипотеза:
можно предположить, что существуют углы разных градусных мер, которые

можно построить без применения транспортира, а только пользуясь линейкой без мерных делений, клетчатой бумагой.

Методы исследования:
— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
— графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

Целью работы:
является знакомство с инструментами для измерения углов, исследование метода построения углов заданной градусной меры без использования транспортира.

Задачи:

1. Провести практическую работу по построению острых углов заданной градусной меры (от 10° до 80°, кратных 10) и выявлению «контрольных» точек – узлов для лучей каждого угла.

2. Проанализировать полученные результаты и систематизировать их

3. Определить группы задач, которые можно решить с помощью исследованного метода построения углов.

4. Сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

Актуальность:

 в курсе геометрии при решении задач часто приходится строить иллюстративные чертежи различных фигур по заданному условию. Владение методом построения углов на клетчатой бумаге позволяет чертить заданные углы с достаточной точностью, не требует наличия транспортира и экономит время на выполнение чертежа.

Содержание:

1. Введение.

2. Построение углов: история и современность.

3. Практическая часть. Построение углов без помощи транспортира.

1) Построение угла 45° без помощи транспортира.

2) Построение острых углов с градусной мерой, кратной 10° без помощи транспортира.

3) Построение тупых углов с градусной мерой, кратной 10°, от 100° до 170°

без помощи транспортира.

4) Построение углов с помощью угольников.

5) Построение углов 30°, 45°, 60°, 90° в практической жизни.

6) Измерение углов по пальцам рук.

4. Выводы и заключение.

5. Литература.

1.ВВЕДЕНИЕ

Увлечение отдельной областью математики часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. При изучении в 5 классе на уроках математики темы «Построение угла заданной величины», мы научились строить углы с помощью транспортира.

И сразу обнаружили, что некоторые углы гораздо быстрее и более точно можно начертить в тетрадке с помощью одной только линейки.

Углы с градусными мерами 90° и 180° можно построить, проведя луч по горизонтальным или вертикальным линиям тетради, а углы в 135° и 45° — по диагоналям клеток.

Именно тогда я и заинтересовалась вопросом, а можно ли построить и другие углы, используя только клетчатую бумагу и линейку?

Так появилась моя исследовательская работа «Строим углов без транспортира».

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики?

Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны.

Своё исследование я решила начать с изучения ответа на вопрос, как решались задачи на построение углов, начиная с древних времен и до сегодняшнего времени.

2. ПОСТРОЕНИЕ УГЛОВ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ

Понятие градуса и появление первых инструментов для измерения углов связывают с развитием цивилизации в древнем Вавилоне, хотя само слово градус имеет латинское происхождение (градус–от лат. gradus- “шаг, ступень”). Градус получится, если, разделить окружность на 360 частей.

Возникает вопрос – а почему древние вавилоняне делили именно на 360 частей.

Дело в то, что в Вавилоне была принята шестидесятиричная система счисления. Более того, число 60 считалось священным. Поэтому все вычисления были связаны с числом 60.

История не сохранила имя ученого, который изобрел транспортир – возможно в древности этот инструмент имел совсем другое название.

Современное название происходит от французского слова ”ТRANSPORTER”, что означает “переносить”.

Первые задачи на построение углов возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древними архитекторами и землемерами приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Первые греческие ученые, которые занимались решением геометрических задач на

построение, были: Фалес Милетский (624 – 547 гг. до н.э.), Пифагор (ок. 580 – 500 гг. до н.э.), Платон (427 – 347 гг. до н.э.).

Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на

местности и заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости.

Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде ‘практических правил», исходя из наглядных соображений.

Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнилось при помощи циркуля и линейки, то есть путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, например транспортир, то построение не считалось геометрическим.

Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Но древние ученые производили измерения не только транспортиром – ведь этот

инструмент был неудобен для измерений на местности и решения задач прикладного

характера. А именно прикладные задачи и являлись главным предметом интереса древних геометров.

Изобретение первого инструмента, позволяющего измерять углы на местности,

связывают с именем древнегреческого ученого Герона Александрийского (I в. до н.э). Он описал инструмент “диоптр”, позволяющий измерять углы на местности и решать множество прикладных задач.

Но прогресс не стоит на месте и в ХVII веке был изобретен прибор нивелир, а в следующем веке английским механиком Джессе Рамсденом был изобретен другой прибор – теодолит.

теодолит

Сегодня теодолит – сложный прибор. Многие работы (в том числе и строительство) требуют предварительной консультации геодезистов измерений с помощью теодолита.

Однако усовершенствование инструментов для измерения углов связано не только с

проведением строительных работ. С древнейших времен люди путешествовали, познавая окружающий мир. Путешественниками необходимо было уметь ориентироваться в пространстве. На долгие века основным ориентиром путешественников стали звезды.

Появился первый инструмент путешественников – астролябия. Астролябия(греч. astrolabion, от astron — «звезда» и labe – “схватывание»; лат. astrolabium) — угломерный прибор, служивший до начала XVIII в. для определения положений светил на небе.

Секстант — это наиболее совершенный прибор для измерения угловых координат небесных тел того времени. Его изобретение приписывается Исааку Ньютону. Секстант позволял измерять как широту, так и долготу точки наблюдения, причем с довольно высокой точностью.

В настоящее время широко используются современные приборы для измерения углов на местности.

Геодезический инструмент для измерения углов при съёмках на местности, специальный вид компаса- буссоль.

Простейший геодезический инструмент, служащий для измерения углов наклона местности с точностью до десятых долей градуса- эклиметр.

Необычный объект, который мы можем наблюдать на фото, был найден в гробнице древнеегипетского архитектора Ха (Kha). Без малого столетие прошло с тех пор, как историки впервые задались вопросом о предназначении странного артефакта.

Недавно предположение о возможном способе использования объекта выдвинула ученая-физик. Гипотеза, предложенная Амелией Спаравигной (Amelia Sparavigna) из Туринского политехнического университета (Turin Polytechnic), базируется на числовых отметках, якобы присутствующих на поверхности артефакта.

Архитектор Ха известен тем, что во времена 18-той династии (приблизительно 1400 год до нашей эры) он был задействован в строительстве гробницы фараона. Собственную же усыпальницу Ха нашли 1906 году неподалеку от Долины Царей — это открытие принадлежит археологу Эрнесто Скьяпарелли (Ernesto Schiaparelli). Среди вещей, когда-то принадлежащих архитектору, удалось идентифицировать измерительные пруты длиной в локоть (45 см), инструмент, напоминающий современный угольник, а также неизвестное полое деревянное орудие. По мнению Скьяпарелли, это был инструмент для выставления уровня.

Детально осмотрев старую находку, Амелия Спаравигна пришла к выводу, что на самом деле этот последний объект служил в качестве транспортира — в пользу такой версии свидетельствуют 16 лепестков, расположенных по окружности и находящихся на равном расстоянии друг от друга. Эти лепестки окружены круглым узором, имеющим 36 углов. Очевидно, продолговатая ровная часть инструмента устанавливалась на поверхность, после чего, с помощью уровня, можно было определить угол наклона того или иного объекта.

Числа, присутствующие на находке, якобы соответствовали двум измерительным системам, применявшимся в древнем Египте. Первая, внутренняя часть узора, соответствует шестнадцатичной счетной системе (соответствует современной десятичной). Вторая отображает 36 созвездий, известных египтянам.

Современные угломеры

Транспорти́р (фр. transporteur, от лат. transporto «переношу») — инструмент для построения и измерения углов. Транспортир состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделённого на градусы от 0 до 180°. В некоторых моделях — от 0 до 360°.

Разновидности транспортиров

• Полукруговые (180 градусов) — наиболее простые и древние транспортиры.

• Круговые (360 градусов).

• Геодезические, которые бывают двух типов: ТГ-А — для построения и измерения углов на планах и картах; ТГ-Б — для нанесения точек на чертежной основе по известным углам и расстояниям. Цена деления угломерной шкалы — 0,5°, прямолинейной — 1 миллиметр.

• Улучшенные типы транспортиров, которые необходимы для более точных построений и измерений. Например, существуют специальные транспортиры с прозрачной линейкой с угломерным нониусом, которая вращается вокруг центра.

Транспортиры изготавливаются из стали, пластмассы, дерева и других материалов. Точность транспортира прямо пропорциональна его размеру (чем больше транспортир, тем меньше цена одного деления).

Полукруговой транспортир Круговой транспортир Геодезический транспортир

Угломер электронный Угломер строительный

Угломер Чижевского представлял собой треногу, на которой крепился круг с делениями, на его оси — подвижная алидада с указателем и визирная трубка на ней. Был еще и компас для ориентирования прибора. Измерив угловые расстояния между своей батареей и целью, командир производит геометрические расчеты и передает необходимые данные по телефону или через связных на свою батарею. Используя их, обученные наводчики направляют орудия на цель. Во время стрельбы командир батареи с помощью бинокля корректирует точность попадания снарядов в цель. Новый способ стрельбы с закрытых позиций давал возможность нанести удар по врагу не одним выстрелом из одного орудия, а со всех орудий разом широким фронтом огня – веером, сохранив при этом людей и технику.

Вот такая история возникновения различных приборов для измерения углов не только на чертежах, но и на любой местности, включая даже небесное пространство!

Таким образом, я выяснила, что на современном этапе существует множество приборов, позволяющих измерять и строить углы с различной степенью точности, которые применяются людьми самых разнообразных профессий, а при изучении курса геометрии в школе для построения углов заданной градусной меры в основном используется циркуль, линейка и транспортир.

3.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1)Построение угла 45° без помощи транспортира.

Угол 45 градусов в геометрии встречается часто.

Рассмотрим, как легко можно построить угол 45 градусов без транспортира, пользуясь только линейкой, карандашом и клеточками тетради.

Легче всего строить прямой угол.

Для этого из одной точки по клеточкам строим горизонтальный и вертикальный лучи. 

Градусная мера прямого угла — 90 градусов. 45 градусов — половина от 90º. Значит, чтобы построить угол 45 градусов, нужно взять половину прямого угла.

Сделать это очень легко. Выбираем вершину угла на пересечении клеточек. Одну сторону угла, например, горизонтальный луч, проводим с помощью линейки по клеточкам. Для построения второй стороны угла 45º каждую клеточку делим по диагонали (отмечаем несколько точек):

Затем с помощью линейки и карандаша через эти точки проводим второй луч. Получили угол 45 градусов:

2)Построение острых углов с градусной мерой, кратной 10° без помощи транспортира.

Для проведения исследования я на листке клетчатой бумаги построила острые углы,

начиная от 10° до 80°, с интервалом в 10°. Центр угла был расположен в узле клеток. Один из лучей, образующих угол, провела горизонтально слева направо.

Далее с помощью транспортира начертила лучи для всех исследуемых углов.

Если второй луч проходил точно через узел клеток, то информацию об этом угле заносила в таблицу.

Положение «контрольного» узла относительно вершины данного угла отмечалось следующим образом: сначала указывалось количество целых клеток вверх, затем вправо.

В результате получилась такая таблица:

Проанализировав данные таблицы для построения углов, можно заметить, что для углов

от 20° до 70° количество клеток вверх на единицу превышает количество десятков в

градусной мере угла. Причем сумма клеток вверх и вправо для всех этих углов равна 11.

Если прибавить к числу десятков искомого угла единицу, то получим количество клеток по вертикали. Если это число отнять от 11, то получим количество клеток по горизонтали от вершины угла.»

Например, для построения угла в 70° нужно отступить 8 (7+1) клеток по вертикали и 3(11-8) клетки по горизонтали в сторону первого луча.

Анализ данных в полученной таблице еще раз убеждает нас в существовании красоты, закона симметрии и порядка в науке математике.

3)Построение тупых углов с градусной мерой, кратной 10°, от 100° до 170° без помощи транспортира.

Исследованный метод построения углов позволяет решать следующую геометрическую задачу: построение тупых углов от 100° до 170° с шагом в 10°.

Смежные углы имеют общий луч. Поэтому для построения тупых углов можно

пользоваться «контрольной» точкой смежного ему острого угла из таблицы. Только

отсчет клеток по горизонтали выбирается в противоположном горизонтальному лучу

направлении (в нашем случае влево).

4)Построение углов с помощью угольников.

Я исследовала чертёжные инструменты – угольники.

Угольник — линейка в форме прямоугольного треугольника, как правило, с миллиметровой шкалой и с пустотой в форме уменьшенного подобного треугольника внутри.

Наиболее распространены угольники двух видов: с острыми углами по 30 и 60 градусов и равнобедренными с одинаковыми острыми углами по 45 градусов. Угольники используются в черчении для построения некоторых углов без помощи транспортира.

При использовании двух угольников можно построить больший набор углов, прикладывая их друг к другу, например, угол в 75 градусов (30+45), 120 градусов (90+30) и т.д. Покажу, как это сделать…

Понадобятся два вида угольников: первый с углами по 45 градусов, а второй — по 30 и 60.
1)75 градусов можно построить следующим образом: сначала построить угол в 30, а затем от него отложить 45 градусов.

2) 135 градусов: построить прямой угол, затем от него отложить 45 градусов.
3) 25 градусов: построить угол в 60 градусов,  затем от луча внутри угла отложить 45 градусов.

С помощью угольников можно построить углы 105◦, 15◦ и другие.

105= 60+45, 15=60-45 и так далее.

5)Построение углов 30°, 45°, 60°, 90° в практической жизни.

Часто домашнему мастеру необходимо срочно произвести какое либо измерение или сделать разметку под определенным углом, а под рукой нет либо угольника, либо транспортира. В этом случае его выручат несколько простых правил.

Угол 90 градусов.

Если нужно срочно построить прямой угол, а угольника нет, можно воспользоваться любым печатным изданием. Угол бумажного листа — очень точный прямой угол (90 град.). Резательные (вырубочные) машины в типографиях настроены очень точно. Иначе исходный рулон бумаги начнет резаться вкривь и вкось. Поэтому вы можете быть уверены, что этот угол — именно прямой.

А если нет даже печатного издания или необходимо построить угол на местности, например при разметке фундамента или листа фанеры с неровными краями? В этом случае нам поможет правило золотого (или египетского) треугольника.

Золотым (или египетским, или Пифагоровым) треугольником называется треугольник со сторонами, которые соотносятся друг с другом как 5:4:3. По теореме Пифагора, у прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. 5х5 = 4х4 + 3х3. 25=16+9 и это неоспоримо.

Поэтому для построения прямого угла достаточно на заготовке провести прямую линию длиной 5 (10,15,20 и т.д. кратной 5 см). А затем, из краев этой линии начать отмерять с одной стороны 4 (8,12,16 и т.д кратно 4 см), а с другой — 3 (6,9,12,15 и т.д. кратно 3 см) расстояния. Должны получиться дуги с радиусом 4 и 3 см. Где эти дуги пересекутся между собой и будет прямой (90 градусов) угол.

Угол 45 градусов.

Такие углы обычно применяют при изготовлении прямоугольных рамок. Материал из которого делается рамка (багет) пилится под углом 45 градусов и стыкуется. Если под рукой нет стусла или транспортира, получить шаблон угла в 45 градусов можно следующим образом. Необходимо взять лист писчей бумаги или любого печатного издания и согнуть его так, что бы линия сгиба проходила точно через угол, а края загнутого листа совпадали. Получившийся угол и будет равен 45 градусам.

Угол 30 и 60 градусов.

Угол в 60 градусов требуется для построения равносторонних треугольников. Например, вам надо напилить такие треугольники для декоративных работ или точно установить силовой укос. Угол в 30 градусов редко применяется в чистом виде. Однако с его помощью (и с помощью угла в 90 градусов) строится угол 120 градусов. А это угол, необходимый для построения равносторонних шестиугольников, фигуры весьма популярной у столяров.

Для построения весьма точного шаблона этих углов в любой момент необходимо запомнить константу (число) 173. Они вытекает из соотношений синусов и косинусов этих углов.

Возьмите лист бумаги из любого печатного издания. Его угол равен точно 90 градусам. От угла по одной стороне отмерьте 100 мм (10 см.), а по другой — 173 мм (17,3 см). Соедините эти точки. Таким образом мы и получили шаблон, у которого один угол 90 градусов, один 30 градусов и один 60 градусов. Можете проверить на транспортире — все точно!

Запомните это число — 173, и вы всегда сможете построить углы в 30 и 60 градусов.

6)Измерение углов по пальцам рук.

Итак, смотрим на свою руку, которая есть у каждого человека. Уточнение! — левша должен снимать показания углов с правой руки, а правша с левой. Причина проста — приоритет действующей руки со временем деформирует кости, суставы и сильнее растягивает мышцы. Поэтому у правшей левая рука менее деформирована и разработана, а у левшей наоборот.

Теперь растопыриваем в стороны пальцы, как только можете за счет усилия только руки, ничем их раздвигать не нужно — только максимальное мышечное усилие. Богом так заложено у человека и это правда, что у здорового человека с нормальной рукой растопыренные пальцы — это полноценно действующий и относительно точный транспортир.

Угол между большим и безымянным пальцами равен 90 гр.

Угол между большим и указательным пальцами равен 45 гр.

Угол между безымянным и средним пальцами равен 22.5 гр.

Угол между безымянным и мизинцем равен 15 гр. — солнечному часу.

4.ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Своей исследовательской работой мне хотелось бы доказать, что построение углов очень интересное и познавательное занятие, совсем не сложное и трудоемкое, как может показаться на первый взгляд.

Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала

следующие выводы:

1. Обычный лист бумаги в клетку может выполнять функцию своеобразного инструмента для построения углов.

2. Угольники можно использовать для построения некоторых углов без использования транспортира.

Таким образом, методы построения углов без помощи транспортира актуальны для школьников, так как большинство задач оформляется на листке тетради в клетку и большинство задач в учебнике геометрии связано с построением фигур с углами, градусная мера которых кратна10°.

5 ЛИТЕРАТУРА.

1. В.В. Вавилов, А.В. Устинов. Задачи на клетчатой бумаге. – М.: Школа им. А.Н.

Колмогорова, 2006. – 183 с

2. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп., М.,

Недра, 1983, 108 с., ил.

3.Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009

4. Большая советская энциклопедия

5. ГОСТ 13494-80. Транспортиры геодезические. Технические условия (с Изменениями N 1-4).

6. Большой энциклопедический политехнический словарь 2004

Список интернет-ресурсов:

http://allencyclopedia.ru/17254 Большая Советская энциклопедия/ Геодезические

инструменты

http://journal.kuzspa.ru/articles/95/ -Электронный научный журнал «Информационно-

коммуникационные технологии в педагогическом образовании»

http://sm-shihova.ucoz.ru/Komu_interesno/Komuinteresno_6.pdf — Математика, 5-6: книга для учителя Автор/создатель: Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

http://enc-dic.com/word/t/Transportir-4655.html [энциклопедии и словари]

http://www.gs-market.ru/index.php?show_aux_page=70 [угломеры электронный, строительный]

http://znaika.ru/catalog/5-klass/matematika/Izmerenie-uglov.-Transportir. [история возникновения приборов измерения углов]

http://virtoo.ru/almanach/nepoznannoe/pervyj-v-mire-transportir-izobreli-eg.html [первый в мире транспортир изобрели египтяне]

http://www.vest-news.ru/article.php?id=18508 [угломер Чижевского Л.В.]
http://astro.uni-altai.ru/picture/src/0+1066279852/ [средневековые угломерные инструменты]

.

Как сделать угол в ванной 90 градусов > %

Зачем и когда необходим прямой угол в ванной комнате?

Ванная комната предполагает установку ванны. Только в этом случае важно соблюдение прямого угла, где она будет примыкать. Это необходимо для предотвращения затекания воды. При незначительных отклонениях от 90 градусов,  этот дефект исправим и не создает большой проблемы. Просто для заделки увеличенного промежутка потребуется больше силикона.

Установка ванны в угол 90 градусов

Как выход, в подобных ситуациях  практикуется устройство штробы  в стене, на уровне бортика  ванны . Прямой угол в этом случае возникает  уже внутри стены (штробы).

Построение прямого угла в любом помещении начинается на этапе возведения стен. Если  в этот момент была допущена большая ошибка, то исправить ее штукатуркой уже нельзя. Потому, как толщина слоя в конце стены может достигать 10-15 см.

Как сделать прямой угол и возможно ли такое на этапе выравнивающей штукатурки?

Если отклонения от 90 градусов между стенами небольшое, то выполнение этого условия с помощью выравнивающей штукатурки вполне оправдано.  Толщину выравнивающего слоя можно распределить между двумя стенками или взять одну стенку за базовую,  выставить там маяки по минимуму. Обычно это длинная стенка. Тогда выравнивающий слой, создающий прямой угол, будет на второй , короткой стене. Это даст возможность избежать больших слоев.

Можно сделать сперва штукатурку на базовой стене, а потом заняться построением 90 градусов  с помощью маяков на второй  плоскости. А можно сразу заняться построением прямого угла с помощью  маяков на обеих плоскостях . Как это получилось в нашем случае.

• Между двумя отметками будущей штукатурки (саморезами в пластмассовых дюбелях 1 и 2 на фотографии) , с помощью клина, установить промежуточную, для уголка.

• Первый этап по созданию прямого угла

• С помощью уголка обозначить прямой угол. Проверить визуально насколько построение его возможно в конкретном случае на практике. Забить два дюбеля на второй стене (1 и 2 на фотографии).

  Второй этап. Проверка угольником

• С помощью клина или лески установить третий дюбель, который будет служить отметкой для штукатурного маяка в конце стены. Проверить последнюю отметку  по отвесу – не упирается ли будущий маяк в стену.

  Третий этап создания угла в 90 градусов

• Еще раз все проверить на возможность уменьшения штукатурного слоя.

Соблюдение этого правила необходимо для всех углов в сан блоке или нет?

Это условие необходимо для угла, в котором предстоит установка ванны. Если ванна занимает все пространство между стенками – прямыми должны быть оба угла. В случае, если происходит неполное заполнение пространства между двумя стенками – достаточно 90 градусов в одном угле.

Но необходимо учитывать, что ванна может иметь  отклонения от 90 градусов. Особенно чугунное литье. И тогда все танцы с бубном вокруг угла становятся напрасными. Проблема переходит на следующий этап – заделку стыка между ванной и стеной.

Методикам перпендикулярность плоскостей

Методика работы над теоремой: «Признак перпендикулярности плоскостей»

1. Мотивация.

-Сформулируйте определение, какие плоскости называются перпендикулярными?

-две пересекающие плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

-А когда 2 плоскости перпендикулярные?

-когда они пересекаются и при пересечении образуется 4 двугранных угла и каждый двугранный угол равен 90 градусов.

-Как вы считаете, будет ли плоскость потолка перпендикулярна плоскости стены? Будет ли плоскость стены перпендикулярна плоскости пола? (не знают, но предположат, что да)

-Будет ли основание куба перпендикулярно какой-либо грани? Будет ли грань перпендикулярна основанию куба?

-наверное, да.

-Можете ли вы быть уверены в том, что, потолок перпендикулярен стене? Что грань куба пересекает основание под прямым углом? И т.д.

-нет.

-Значит, нам нужно каким-то образом выяснить это, узнать новую теорему или признак, по которому мы сможем точно ответить на данные вопросы. А еще это нам понадобится при решении задач, где надо установить перпендикулярность плоскостей.

2. Раскрытие содержания теоремы.

Давайте рассмотрим 3 примера.

1. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом больше 90 градусов и поставим ручку так, чтобы она была перпендикулярна, например, нижней плоскости.

— Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку?

-нет.

-Как при этом были расположены плоскости?

-под углом больше 90 градусов.

2) смоделируем 2 ситуацию. Возьмем книгу и развернем так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом меньше 90 градусов и поставим опять ручку перпендикулярно нижней плоскости.

-Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку, принадлежит ли ручка верхней плоскости?

-нет, ручка как бы проткнет верхнюю плоскость или, как мы говорим, пересечет ее.

-Как при этом расположены плоскости?

-под углом меньше 90 градусов.

3) смоделируем последнюю ситуацию. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом равным 90 градусов и ручку поставим также перпендикулярно нижней плоскости.

-Проходит ли верхняя плоскость через ручку, принадлежит ли ручка в данном случае верхней плоскости?

-да.

— Как при этом расположены плоскости?

-перпендикулярно, т.е. под углом равным 90 градусов.

-Выдвинете свою гипотезу, когда же плоскости будут перпендикулярными?

— если одна из 2 плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.

— Ребята, мы с вами предположили, что, если 2 пересекающиеся прямые, лежащая в плоскости параллельна двум пересекающимся прямым, другой плоскости, то они параллельны только на основе опыта. А вдруг мы не рассмотрели случай, когда параллельности плоскостей не будет? Чтобы убрать все сомнения докажем нашу гипотезу.

4. Формулировка теоремы, работа над ее структурой.

Гипотеза, которую вы выдвинули, является признаком перпендикулярности плоскостей. Сформулируем его: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

— Выделите условие и заключение теоремы.

— условие: одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

— заключение: такие плоскости перпендикулярны.

5. Поиск доказательства теоремы.

-Как вы считаете, с чего нужно начать доказательство? (с чертежа, записи того, что дано и что нужно доказать)

— Что дано в теореме? (2 плоскости, причем одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.)

— Что нужно доказать? (что плоскости перпендикулярны).

-Рассмотрим плоскости альфа и бетта, такие, что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта. Точка А – точка пересечения прямой АВ и плоскости бетта.

— Обратимся к чертежу, как расположены эти плоскости относительно друг друга?

— они пересекаются по некоторой прямой А*.

-Верно, обозначим эту прямую АС. Значит плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой АС.

— Значит, какой вывод мы можем сделать о прямой АС?

— прямая АС одновременно принадлежит и прямой альфа и прямой бетта.

-Как расположена прямая АВ по отношению к плоскости бетта?

— прямая АВ перпендикулярна этой плоскости, это следует из дано.

— А если какая-то прямая перпендикулярна какой-то плоскости, то что из этого следует?

-что прямая, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В нашем случае, если прямая АС лежит в плоскости бетта, то прямая АВ перпендикулярна прямой АС.

— Нам нужно доказать, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Т.е. что это значит?

-из определения, это значит, что угол между плоскостями должен быть равен 90 градусов.

-А как найти угол между плоскостями?

— нужно определить градусную меру двугранного угла (фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости).

— Как вы заметили при пересечении плоскостей образовалось 4 двугранных угла. А как найти градусную меру двугранного угла?

-нужно определить градусную меру линейного угла, так как градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

-Т.е. нам нужно на чертеже получить линейный угол, который будет равен 90 градусов. Давайте проведем дополнительное построение и построим прямую АД перпендикулярную прямой АС.

-Что вы можете сказать об угле ВАД?

-это линейный угол двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей и будет равен 90 градусов.

— Почему угол ВАД = 90 градусов?

— АД перпендикулярно АС, а АВ перпендикулярна плоскости бетта, или как мы сказали АВ также перпендикулярна АС, а из этого следует, что АД перпендикулярна АВ.

-Верно. А что из этого следует?

-плоскости альфа и бетта перпендикулярны.

6. Оформление доказательства теоремы.

7. Усвоение формулировки теоремы.

1. Сформулируйте еще раз признак, по которому можно сделать вывод о перпендикулярности плоскостей:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Переформулируйте признак, но чтобы смысл не менялся:

Если даны две плоскости, и одна из них проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8. Усвоение доказательства теоремы.

Как мы доказывали данный признак?

На какие понятия опирались?

Использовали ли дополнительные построения?

Докажите данный признак, если даны плоскости бетта и гамма, причем прямая МN, принадлежащая плоскости бетта, перпендикулярна плоскости гамма, а МN пересекает плоскость гамма в точке N.

9. Решение задач по применению теоремы.

Первичное осмысление и закрепление новых знаний.

1. В классной комнате, используя признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости.

2. Работа в парах. Использую признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости на модели куба.

3. Укажите плоскости, которым перпендикулярна плоскость АВСД? Перпендикулярна ли плоскость АА1В1В плоскости ДД1С1С?

1 решение:

( п.23 и есть «Признак перпендикулярности плоскостей»)

2 решение:

10. Контроль и оценка усвоения теоремы.

Ответить да/нет:

Знаете ли вы формулировку теоремы?

Умеете ли выделять условие и заключение теоремы?

Умеете строить чертеж?

Можете доказывать теорему?

Можете пользоваться этим признаком при решении задач.

Как сделать угол 90 градусов для фундамента. Как сделать углы 90 градусов при оштукатуривании стен? Мастер раскроет свой секрет

Самый простой способ как можно вычислить прямой угол подручными средствами

Каждый из нас учился в школе. Там человек получает огромное количество тех знаний, которые впоследствии могут понадобиться в жизни. Не все, конечно, могут в полной мере оценить значимость полученных знаний в школьной время, но сейчас речь не об этом.

Математика. Это страшное для многих слово, которое пугало достаточное количество школьников в своё время. Цифры, формулы и расчёты поддавались только самым пытливым. И с каждым годом этот сложный предмет становился всё сложнее и сложнее.

В старших классах появляется геометрия и всё становится ещё сложнее и непонятнее. Возможно, многие хоть раз в жизни, но в сердцах проклинали непонятную им науку и задавались вопросом, зачем это вообще нужно, и понадобится ли это в жизни.

Возможно, в повседневной жизни применить полученные в школе знания не удавалось. Вряд ли требовалось посреди белого дня высчитывать логарифмы и квадратные уравнения или доказывать, что две параллельные никогда не сойдутся. Но, где уж точно могут понадобиться знания геометрии и математике, так это в строительстве и при осуществлении ремонта.

В данной статье речь пойдёт о вычислении прямого угла, что требуется при строительстве зданий. Точность при возведении строений должна быть соблюдена в обязательном порядке, ведь только точные расчёты могут избавить от перекосов и нестабильности организации всего здания. Вычисление прямого угла при строительстве — не такой уж и трудный процесс, при котором потребуется знание и применение некоторых простых правил математики и геометрии. Подробнее об этом будет рассказано ниже.

Действительно ли прямой угол?

Возможно, некоторые читатели, ознакомившиеся с заголовком данной статьи, возразят, что прямой угол можно получить не всегда, и не всегда при строительстве используются именно ровные и точные прямые углы.

И, в принципе, они правы. Получить его весьма сложно, особенно если наблюдается неровность фундамента, на котором осуществляется строительство здания. Но, даже учитывая это обстоятельство, ни в коем случае нельзя делать вывод, что расчёт прямого угла можно делать просто «на глаз». В любом случае, если не представляется возможным вычислить идеальный прямой угол, то требуется достичь наиболее приближённого значения к идеальному углу в 90 градусов. И этого можно добиться, используя незатейливые инструменты и не самые сложные математические знания и познания в геометрии.

Что понадобится для определения прямого угла?

Итак, какие инструменты понадобится использовать для того, чтобы проверить прямой угол. Сразу стоит отметить, что никаких приборов и серьёзных инструментов для этого не потребуется. Нужно будет использовать весьма простые вещи, которые могут найтись практически в каждом хозяйстве. И даже если их не имеется под рукой, их с лёгкостью можно приобрести в магазине. С этим никаких трудностей не возникнет.

Для вычисления прямого угла нужно взять:

• Карандаш;
• Строительную рулетку.

И всё. Вот так вот всё просто.

Как можно вычислить прямой угол?

Итак, в этой статье будет описан принцип 3-4-5 при определении угла в 90 градусов. Ничего сложного в этом нет. Потребуется просто лишь чуть пораскинуть мозгами и вникнуть во все расчёты, которые смогут помочь в проверке угла.

Итак, нужно обозначить следующие шаги:

1. Для начала стоит разобраться в том, почему принцип так обозначен — 3-4-5. Это не просто набор цифр, это величина сторон прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Цифры 3-4-5 очень подходят для проверки этого простого правила геометрии: 3*3+4*4=5*5, то есть 9+16=25. Именно эти цифры и будут использоваться в дальнейших вычислениях;
2. Итак, потребуется для начала отмерить 3 метра от угла вдоль одной из стен. Тут следует отметить, что 3 метра — предпочтительная длина замера, но в том случае, если комната маленькая, можно отметить всего 30 сантиметров. В месте замера нужно сделать отметку;
3. В принципе, можно использовать и другие цифры, но рекомендуется в любом случае использовать пропорционально увеличенные числа, например: 9-12-15 или же 30-40-50;
4. После проделанного предварительного замера нужно отмерить 4 метра вдоль другой стены, тоже от угла. Ну или соответственно 40 сантиметров, если комната маленькая. Нужно сделать отметку;
5. Теперь остаётся сделать последнее действие, по которому уже можно судить прямой угол или нет. От измеряющего потребуется измерить расстояние между сделанными отметками. По полученным данным можно будет сделать определённые выводы:
   • Если расстояние между отметками будет равняться 5 метрам ровно, это будет означать, что угол является прямым;
   • В том случае, если измеренное расстояние будет равняться меньше 5 метров, угол будет меньше, чем 90 градусов;
   • Ну и, наконец, величина угла будет составлять больше 90 градусов, если полученная величина замера будет равняться больше 5 метров.

Вывод

Вот, как просто можно вычислить прямой угол без использования каких-либо строительных инструментов и приборов. Использовать можно самое простое, но в то же время весьма действенное средство, которое вкупе с использованием имеющихся знаний и бесхитростных расчётов, может помочь произвести измерение.

При использовании предложенных величин, ключевым становится финальный замер между двумя отметками, которые были сделаны ранее. Расстояние, которое будет равняться точно 5 метрам, покажется, что он прямой. Если же величина будет больше или меньше 5 метров, это будет означать, что он прямым не является.

bane.guru

Египетский треугольник. Прямой угол без инструмента. |

15.01.2016 profipol_dp Инструмент

Как выставить угол 90 градусов без специального инструмента (угольника)?

Допустим, у нас есть линия  к которой нам нужно выставить перпендикуляр, т.е. еще одну линию под углом 90 градусов относительно первой. Или у нас есть угол (например, угол комнаты) и нам нужно проверить равен ли он 90 градусам.

Все это можно сделать с помощью одной только рулетки и карандаша.

Есть две отличные штуки, такие как «Египетский треугольник» и теорема Пифагора, которые нам в этом помогут.

Итак, Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник с соотношением всех сторон равным 3:4:5 (катет 3: катет 4: гипотенуза 5).

Египетский треугольник напрямую связан с теоремой Пифагора — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (3*3 + 4*4 = 5*5).

Как нам это может помочь? Все очень просто.

Задача №1. Нужно построить перпендикуляр к прямой линии (например, линию под 90 градусов к стене).

Шаг 1. Для этого от точки №1 (где будет наш угол) нужно отмерить на этой линии любое расстояние кратное трем или четырем — это будет наш первый катет (равный трем или четырем частям, соответственно), получаем точку №2.

Для простоты вычислений можно взять расстояние, например 2м (это 4 части по 50см).

Шаг 2. Затем от этой же точки №1 отмеряем 1,5м (3 части по 50см) вверх (выставляем примерный перпендикуляр), чертим линию (зеленая).

Шаг 3. Теперь из точки №2 нужно поставить метку на зеленой линии на расстоянии 2,5м (5 частей по 50см). Пересечение этих меток и будет нашей точкой №3.

Соединив точки №1 и №3 мы получим линию-перпендикуляр нашей первой линии.

Задача №2. Вторая ситуация — есть угол и нужно проверить прямой ли он.

Вот он, наш угол. Крнечно проще проверить большим угольником. А если его нет?

Отмеряем от угла любую длину кратную четырем, в данном случае это 1,6м.

В другую сторону три части, соответственно 1,2м.

И между этими точками должно оказаться пять частей, т.е. 2м.

Как видите, у нас угол оказался прямее всех прямых.

Чего и вам желаем!

Это тоже интересно:

инструмент, разметка укладки кафеля,

profipol.dp.ua

Как построить прямой угол на земле при помощи простейших инструментов?

Это — древнейшая геометрическая задача.

Пошаговая инструкция

1й способ. — С помощью «золотого», или «египетского», треугольника. Стороны этого треугольника имеют соотношение сторон 3:4:5, а угол равен строго 90град. Этим качеством широко пользовались древние египтяне и другие пракультуры.

Илл.1. Построение Золотого, или египетского треугольника

• Изготавливаем три мерки (или веревочных циркуля – веревка на двух гвоздях или колышках) с длинами 3; 4; 5 метров. Древние в качестве единиц измерения часто пользовались способом завязывания узелков с равными расстояниями между ними. Единица длины — «узелок».
• Вбиваем в точке О колышек, цепляем на него мерку «R3 — 3 узелка».
• Протягиваем веревку вдоль известной границы – в сторону предполагаемой точки А.
• В момент натяжения на линии границы – точка А, вбиваем колышек.
• Затем — снова от точки О, протягиваем мерку R4 – вдоль второй границы. Колышек пока не вбиваем.
• После этого натягиваем мерку R5 – от А до В.
• В месте пересечения мерок R2 и R3 вбиваем колышек. – Это искомая точка В – третья вершина золотого треугольника, со сторонами 3;4;5 и с прямым углом в точке О.

2й способ. С помощью циркуля.

Циркуль может быть веревочный или в виде шагомера. См: …простейший землемерный инструмент

Наш циркуль-шагомер имеет шаг в 1 метр.

Илл.2. Циркуль-шагомер

Построение – также по Илл.1.

• От точки отсчета – точки О – угла соседа, проводим отрезок произвольной длины — но больше, чем радиус циркуля = 1м – в каждую сторону от центра (отрезок АВ).
• Ставим ногу циркуля в точку О.
• Проводим окружность с радиусом (шагом циркуля) = 1м. Достаточно провести короткие дуги – сантиметров по 10-20, в местах пересечения с отмеченным отрезком (через точки А и В.). Этим действием мы нашли равноудаленные точки от центра — А и В. Величина удаления от центра здесь не имеет значения. Можно эти точки просто отметить рулеткой.
• Далее нужно провести дуги с центрами в точках А и В, но несколько (произвольно) большего радиуса, чем R=1м. Можно перенастроить наш циркуль на больший радиус, если он имеет регулируемый шаг. Но для такой небольшой текущей задачи не хотелось бы его «дергать». Или когда регулировки нет. Можно сделать за полминуты веревочный циркуль.
• Ставим первый гвоздь (или ножку циркуля с радиусом больше, чем 1м) поочередно в точки А и В. И проводим вторым гвоздем — в натянутом состоянии веревки, две дуги — так чтобы они пересеклись друг с дружкой. Можно в двух точках: C и D, но достаточно одной – C. И снова хватит коротких засечек на пересечении в точке С.
• Проводим прямую (отрезок) через точки С и D.
• Все! Полученный отрезок, или прямая, — есть точное направление на север :). Простите, — на прямой угол.
• На рисунке показаны два случая несоответствия границы по участку соседа. На Илл.3а приведен случай, когда забор соседа уходит от нужного направления в ущерб себе. На 3б – он залез на Ваш участок. В ситуации 3а возможно построение двух «направляющих» точек: и C, и D. На 3б же – только С.
• Поставьте на углу О колышек, а в точке C — временный колышек, и протяните от С шнур до задней границы участка. – Так, чтобы шнур едва касался колышка О. Замерив от точки О – в направлении D, длину стороны по генплану, получите достоверный задний правый угол участка.

Илл.3. Построение прямого угла – от угла соседа, с помощью циркуля-шагомера и веревочного циркуля

Если у Вас есть циркуль-шагомер, то можно и вовсе обойтись без веревочного. Веревочный в предыдущем примере мы применили для проведения дуг большего радиуса, чем у шагомера. Большего потому, что эти дуги должны где-нибудь пересечься. Для того чтобы дуги можно было провести шагомером с тем же радиусом – 1м с гарантией их пересечения, надо чтобы точки А и В находились внутри окружности c R =1м.

• Отмерьте тогда эти равноудаленные точки рулеткой — в разные стороны от центра, но обязательно по линии АВ (линии забора соседа). Чем точки А и В будут ближе к центру – тем дальше от него направляющие точки: C и D, и тем точнее измерения. На рисунке это расстояние принято равным около четверти радиуса шагомера = 260мм.

Илл.4. Построение прямого угла с помощью циркуля-шагомера и рулетки

• Не менее актуальна эта схема действий и при построении любого прямоугольника, в частности — контура прямоугольного фундамента. Вы получите его идеальным. Его диагонали, конечно, нужно проверить, но разве не уменьшаются усилия? – По сравнению, когда диагонали, углы и стороны контура фундамента двигают туда-сюда, пока углы не сойдутся..

Собственно, мы решили геометрическую задачу на земле. Для того чтобы Ваши действия были более уверенными на участке, потренируйтесь на бумаге – с помощью обычного циркуля. Что ничем в принципе не отличается.

www.remotvet.ru

Как сделать углы 90 градусов при оштукатуривании стен? Мастер раскроет свой секрет

Как сделать углы 90 градусов при оштукатуривании стен? Мастер раскроет свой секрет

Вы умеете правильно выставлять маяки и штукатурить стены? Это великолепно. А получаются ли у вас углы 90 градусов?Проверьте угольником ваши готовые стены

[ Нажмите на фото

для увеличения ]

Вероятнее всего — углы далеки от идеала. Как же выставить маяки так, чтобы все углы помещения были 90 градусов? А всё проще простого.

Вам из дополнительных инструментов потребуется лишь угольник. Рассмотрим весь технологический процесс более подробно. Разметьте одну стену под маяки. Просверлите отверстия под саморезы. Вставьте саморезы по дереву в распорные пластмассовые дюбеля, которые вы предварительно вставили в просверленные отверстия.

Выставите их по уровню. Оштукатурьте эту стену. Для чего? У вас тогда будет готова одна плоскость, от которой вы будете выставлять 90 градусов для примыкающих к ней двух стен. На одной из стен, которые примыкают к оштукатуренной плоскости, рядом с углом, отметьте вертикальную линию.

Просверлите отверстия в ней для дюбелей. Вставьте в эти отверстия дюбеля. Вкрутите саморезы. Теперь надо выставить саморезы линии по уровню. Берите угольник. Маленькой стороной прикладывайте к готовой поверхности стены, а длинной стороной на один из выставленных саморезов.

Отметьте линию, чтобы она не выходила за пределы стороны угольника. Потом рисуйте вертикальную линию по отмеченной линии. Просверлите отверстия на линии параллельно саморезам на первой вертикальной линии, которые уже выставлены по уровню. Вкрутите саморезы. Далее.

Приложите угольник к оштукатуренной поверхности и на саморез первой линии. Смотрите, что получилось. Если саморез второй линии не касается угольника, подкрутите его отвёрткой до того момента, чтобы саморез коснулся угольника. Так выставляйте все саморезы второй линии. Теперь у вас получилась ровная линия по уровню и с углом 90 градусов.

Размечайте далее всю стену линиями для маяков и выставляйте на них саморезы. Только саморезы должны находиться на одной горизонтальной линии с саморезами первой и второй линии. Берите правило и приложите его к двум саморезам первой и второй линии горизонтально. Смотрите на саморез третьей линии. Подкрутите его отвёрткой до правила. Так выставляйте все саморезы.

Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм.

Потом переходите дальше. Как выставите маяки на этой стене — оштукатуривайте её. И снова выставляйте маяки. Когда вы оштукатурите все стены, шпателем широким зачистите углы от лишнего раствора. Углы должны быть ровными и чистыми. Ваши углы будут ровно 90 градусов — это гарантировано.

На внешние углы обязательно ставьте перфорированный уголок. По уровню, разумеется. Справа и слева от уголка нанесите жидкий слой штукатурки. Протяните его большим правилом. Роль маяка сыграет уголок, а роль второго маяка — конец самого правила. Это сделает ваши стены идеально ровными.

Видео: Как сделать углы 90 градусов при оштукатуривании стен?

Допускаются некоторые отклонения от нормы, но не более 1мм. Старайтесь, чтобы было меньше ям и царапин. Тогда шпаклевать будет намного легче и расход шпаклёвки будет минимальный. В ванной комнате и туалете маяки извлекать не стоит. Да и жидким слоем проходить не надо. Там ведь всё равно будет плитка.

Если у вас в санузле будут углы 90 градусов, то плитка будет смотреться просто изумительно. Потому что идеальные углы — это красиво. Обои или краска на стенах помещения с идеально ровными углами также будут выглядеть идеально, без погрешностей.

Технологии

Техника сграффито – шаг к совершенству вашего интерьера

В последнее время очень часто в качестве отделки стала применяться цветная декоративная штукатурка, которая прекрасно подходит для отделки фасадов зданий и различных элементов архитектуры

Шелковая штукатурка – изюминка в дизайне помещений

Штукатурка поверхностей машинным способом – преимущества

Мраморная штукатурка: виды, преимущества, технология использования

По материалам сайта: http://build-chemi.ru

fix-builder.ru

Как разметить угол 90 градусов на полу

Рейтинг:   / 2 Подробности Создано 09.03.2014 17:02 Просмотров: 17877

Проводя ремонт в своей квартире, мы часто сталкиваемся с необходимостью точного определения тех или иных плоскостей под углом в 90 градусов. Да на сегодняшний день существует множество лазерных устройств для построения разных осевых линий, но они, как правило, стоят немалых денег и для одноразового ремонта их покупать нецелесообразно. Правильно определить и разметить угол в 90 градусов можно обычной линеечной рулеткой, как это можно сделать, Вы увидите, посмотрев данный видео урок.

На больших площадях рулеточное полотно должно быть длинной от 5 метров и больше, на малых достаточно 3 метровой. Суть заключается в нанесении перпендикулярных линий точных размеров, на необходимую поверхность, таких как пол, потолок или стены и соединением их диагональю. Например, многие мастера используют выражение (3-4-5), что означает, отмерив, расстояние вдоль стены в 3 метра, от этой же точки перпендикулярно 4 метра, диагональ соединения их должна быть 5 метров. Таким образом в точке расклада линий будет ровно 90 градусов. Обучающее видео поможет Вам справиться с правильной разметкой угла.

Еще уроки по этой теме

Если Вам нужно установить потолочный плинтус, а необходимого стусла нету, посмотрите предложенное онлайн видео и Вы без проблем справитесь с…

В настоящем видео уроке пойдет речь о сортах винограда сверх раннего созревания. Представлены формы трёх известных виноградарям селекционеров — это…

Существует два основных способа окрашивания декоративной штукатурки «короед», первый с добавлением колера непосредственно в сам состав штукатурки, второй после ее…

Во время ремонтных работ очень часто возникает необходимость отрезать какой-либо материал строго под углом в сорок пять или девяносто градусов.

Единственное различие между прививкой виноградного куста к штамбу в весеннее и осеннее время года то, что осенью прививку необходимо прикопать…

smotri-delay.com

Персональный сайт — Разметка фундамента

Как быстро и точно разметить большой участок земли под фундамент.

Мы живем в «прямоугольном» мире, в Декартовой системе координат. Все стройматериалы также выпускаются в виде прямоугольных заготовок. От доски до рулонов утеплителя. От кирпичей, до бетонных плит перекрытия. Только сыпучие материалы меряются ведрами, мешками, кубометрами (кстати, тоже прямоугольными…).

Поэтому крайне важно при разметке большого участка земли под фундамент выдержать эту прямоугольность. Хотя сделать это самодеятельному строителю бывает не всегда легко. Но приходится.

Хотя, если знать основополагающие принципы разметки и знать некоторые приемы, сделать это можно и самостоятельно, и даже в одиночку.

Принцип первый: Диагонали у прямоугольника — равны. Если длины диагоналей не равны — значит это НЕ прямоугольник, а что то иное. Ромб, параллелограмм, или вообще фигура не поддающаяся классификации, просто четырехугольник.

Есть однако и исключение. Диагонали равны и у равнобедренной трапеции! Диагонали у нее одинаковые, но она — не прямоугольник! Это тоже полезно знать, и не радоваться раньше времени, добившись равности диагоналей.

Поэтому необходимо применять

Принцип второй: Для гарантированного построения прямого угла надо построить т.н. «египетский» или «золотой» треугольник. Такой треугольник, согласно многократно доказанной теореме Пифагора, имеет стороны 3, 4, и 5 единиц. Т.е. катеты длиной по 3 и 4 единицы, а гипотенуза равна 5 единицам. Такой треугольник ВСЕГДА прямоугольный. Несмотря на то, что бы вы не подразумевали под «единицами» — метры, сантиметры, длину какой то палочки, удавов или попугаев. Главное, что бы единицы для измерения катетов и гипотенузы были одни и те же.

Эти два принципа — необходимы и достаточны для того, что бы правильно, и с достаточной для строительства точностью разметить участок под фундамент дома или что вам надо.

Итак, переходим к практическим упражнениям на местности.

Для этого нам потребуется рулетка (желательно длиной больше диагонали, что бы не пользоваться узелками на веревочках). И прочный и длинный шнурок (веревочка). Шнурка должно быть много. Весьма полезно иметь несколько тугих прищепок, что бы не возиться с колышками.

Кстати, прежде чем приступать к разметке и вообще к проектированию, неплохо бы определиться с типом строения, из чего будут стены и т.д. Дело в том, что материалы выпускаются определенных размеров. И бывает весьма обидно, когда впоследствии при постройке, вам, например, придется аккуратно отпиливать от каждого куска пенопласта «лишних 5 сантиметров». И так — 170 раз подряд… Может проще было делать каркас сразу под имеющиеся в продаже материалы?

Т.е. поинтересуйтесь, а каких ЭТО (из чего вы будете строить дом и отделывать его) бывает типо-размеров? Весьма полезно и с экономической точки зрения — отходов не будет. Ну почти не будет…

После того, как с размерами вы определились, размечают ПЕРВУЮ стену. Неважно какую, фасад, боковую или заднюю. Ее же ориентируют в нужном вам направлении. Причем длину этой стены никак не учитывают, а берут с запасом, минимум по полметра — метру от предполагаемых углов. Там забивают колышки и туго натягивают шнурок. Т.е. мы разметили не саму стену, а только ее НАПРАВЛЕНИЕ и примерное месторасположение.

Для чего это делается? Дело в том, что в дальнейшем вам ведь придется вынимать грунт для устройства фундамента. Если мы вобьем колышек сразу в место предполагаемого угла фундамента, то при выемке грунта колышек попросту упадет.

Кстати, вместо колышков удобнее использовать 1-2 х метровую доску, к которой прибиты два колышка. Тогда в боковой торец доски можно вбивать гвозди в любом месте и очень оперативно двигать шнуров влево — вправо. Таким образом можно разметить фундамент просто идеально, с точностью до миллиметров. Такой способ разметки называется «обноска» и работать с ней значительно удобнее, чем с колышками.

Когда мы натягиваем первый шнурок и намечаем место первой стены, у нас появляется «печка», от которой мы будем плясать.

Вот теперь пришло время определиться с местом, где будет угол фундамента. Вешаем на это место прищепку на шнурок (или забиваем колышек) и отмечаем длину стены. Теперь у нас есть уже целых два угла.

А вот тут начинается самое интересное.

Точно такую же обноску мы делаем и для другой стены, перпендикулярной первой.

На первом шнурке мы отмеряем 3 единицы ( кстати, чем единицы длиннее , тем точнее будет прямой угол). Например, ровно 3 метра. И вешаем в этом месте прищепку.

От места пересечения шнурков (желательно что бы они были почти на одной высоте), отмеряем 4 единицы ( ровно 4 метра в данном случае) и тоже вешаем прищепку.

Измеряем расстояние между 2-мя прищепками (с помощью рулетки и помощника). Оно должно быть равно ровно (!!!) 5 метров. Разумеется, с первого раза вы вряд ли получите такой результат. Если он МЕНЬШЕ, это значит, что угол более острый, чем 90 градусов. Если БОЛЬШЕ 5-ти метров — значит угол больше 90 градусов. В этом случае необходимо сдвинуть один конец второго шнурка в ту или иную сторону. После этого снова отмерить 3 единицы от перекрестка шнурков по первому шнурку и 4 единицы по второму. И снова измерить гипотенузу…

Такие перемещения и измерения делаются несколько раз и в конце концов вы получаете желаемый результат — гипотенуза треугольника равна 5 метрам, и стены у нас (вернее их разметка) расположены строго перпендикулярно.

Теперь мы можем отмерить длину второй стены и повесить прищепку там (или забить колышек. Это будет уже 3-й угол дома. И у нас уже появилась диагональ. (А мы помним, что нам важна не ее абсолютная длина, а равенство диагоналей. )

Поэтому найти место для 4-го угла — дело техники. Устроив обноску надо просто найти место пересечения третьего и четвертого шнурка при условии равенства длин противоположных стен.

Ну вот и готова ВНЕШНЯЯ обноска фундамента. Если фундамент — плита, этого достаточно. А если фундамент ленточный — устраиваю внутреннюю обноску так же как и первую, с учетом ширины ленты фундамента. Разумеется сделать ее гораздо проще, чем внешнюю.

Этот способ разметки фундамента проверен веками.. А в те времена не было калькуляторов и сельские строители понятия не имели о квадратных корнях.

Поэтому считаю нужным рассказать, как я размечал свой фундамент. Напомню, его внешний размер у меня 15 х 12 метров. Диагональ, соответственно 19.21 метр

Рассчитав все на бумаге, я купил нужное количество шнурка и попросту отмерил весь периметр фундамента. А затем, наметив «углы» я перевязал его крест накрест абсолютно равными диагоналями.

Т.е. я сразу пошел от желаемого результата…

Выйдя на местность, я вбил первый колышек в желаемом месте и сориентировал первую стенку. Соответственно вбил колышек в месте второго угла.

Ну а дальше было дело техники. Взял колышек и натянув «паутину» так, что бы была натянута одновременно и «стенка» и диагональ, я нашел место третьего угла. Ну и точно так же — место для четвертого. Вся процедура не заняла и 30 минут. Причем размечал ее фундамент в одиночку.

А выносную обноску я устроил уже сверху фактически размеченного фундамента. После этого убрал свою «паутину», что бы она не мешала работ.

dom-stroi-info.narod.ru

Что интересует посетителей? (поисковые запросы за неделю) | Экономный

1. Можно ли строить в пол шлакоблока?2. Как разметить квадрат на земле под фундамент?3. Разметка участка4. Сколько метров от забора надо отступить чтобы построить дом?5. Фундамент под забор6. Экономные дома

1. Можно ли строить в пол шлакоблока?

Строить в пол шлакоблока не только можно а и нужно. Основные плюсы: менее трудоемко, и намного (вдвое) дешевле чем строить в шлакоблок. Основные минусы — стены будут менее прочные, но достаточно прочные чтоб построить два этажа.Даже если вы построите дом со стеной в шлакоблок его все равно придется утеплять, он не будет соответствовать нормам по энергосбережению. А если вы строите в пол шлакоблока, то на сэкономленные деньги вы сможете сделать отличное утепление, и еще останется.

2. Как разметить квадрат на земле под фундамент, как получить угол в 90 градусов?

Если вам нужен именно квадрат то тут все просто, есть два способа примерно одинаковых по трудоемкости.

Способ первый — берете веревку связанную в кольцо, так чтоб ее длина равнялась периметру вашего квадрата, ставите колышки по углам вашего квадрата и натягиваете веревку, меряете диагонали если они равны — у вас получился квадрат, если нет переставляете колышки до тех пор пока диагонали не станут равны. При хорошем глазомере и небольшом размере квадрата итераций будет немного.

Способ второй, он более универсальный и с ним получить угол в 90 градусов можно без проблем. Суть его ясна из рисунка, строите треугольник со сторонами в 3,4 и 5 метров между сторонами в 3 и 4 метра будет угол в 90 градусов.длину сторон можно пропорционально уменьшать, все равно будет угол в 90 градусов.

3. Разметка участка

Разметка участка не так сложна как кажется на первый взгляд, для разметки потребуется несколько колышков, тонкая веревка, рулетка. Зная как построить угол в 90 градусов из пункта номер 2, я думаю проблем с разметкой возникнуть не должно.

4. Сколько метров от забора надо отступить чтобы построить дом?

Тут надо читать законы и всякие строительные правила, раньше я знаю было правило что строение должно быть в метре от забора, позже читал об огромных цифрах в 6-8 метров, но учитывая наши реалии при ширине участка 10-20 метров соблюсти это просто нереально. У меня участок не совсем прямоугольный и в самом узком месте я отступил от забора метр.

5. Как сделать фундамент под забор?

Фундамент под забор можно сделать несколькими способами, можно сделать литой, можно выложить из дикого или бутового камня. Литой на мой взгляд самый практичный, немного арматуры и он будет прочный и долговечный, а снаружи его можно отделать хоть диким камнем, хоть плиткой специальной обклеить под кирпич.При изготовлении литого фундамента для забора особых хитростей нет, роете неглубокую яму 20-30 сантиметров, ставите опалубку, доски для опалубки желательно подобрать поровней — потом не придется долго возиться с отделкой, а если после литься поверхность будет гладкая может вы решите ее так и оставить без отделки. С целью экономии бетона в литье можно класть камни, куски старого бетона остатки литых стен. Красный кирпич тоже наверное можно но я бы не советовал, в сырости он со временем разбухает и раскрашивается, как он себя поведет внутри фундамента под забор я не знаю, но зачем рисковать?

6. Экономные дома.

Затрудняюсь сказать что искал этот посетитель, но расскажу как я понимаю концепцию эконом-дома. В моем понимании это во первых дом построенный экономно, но не за три копейки и из всякого хлама. Экономия должна быть разумной и оправданной. А с другой стороны, после постройки дома он должен быть экономен в эксплуатации, в частности не должен требовать мощного отопления, но при этом удовлетворять всем запросам его жителей в комфортности и удобствах. В моем случае подавляющая часть сэкономленных средств это оплата рабочих, потому как рабочий на моей стройке один, это я сам. Как показал мой опыт, если подходить ко всему обдумано, знать немного всякого, то вполне по силам обрести необходимые навыки и умения для выполнения практически любого вида работ.

dom.dn.ua

Штукатурка откосов под углом 90 градусов

Штукатурка откосов под углом 90 градусов

Штукатурка откосов под углом 90 градусов

Оштукатуривать откосы следует лишь после тщательного закрепления дверных и оконных коробок. Начинают работу с заполнения всех щелей, которые могут иметься между поверхностью стены и коробкой. Для этой цели используют монтажную пену. Откосы штукатурят в последнюю очередь: после обработки потолка и стен. Оштукатуривание дверных откосов обычно не производится. Исключением являются случаи, когда хозяева не планируют устанавливать дверь. А вот с оконными откосами другая ситуация: их следует штукатурить в любом случае, для этого пользуются исключительно гипсовой смесью.

Особенности штукатурки дверных откосов

Как уже сказано, к обработке откосов приступают после завершения штукатурных работ на стенах. Маяки в этом случае не используются, основным инструментом являются правила. Всего потребуется два правила. Их надо установить на поверхности стен, зафиксировав с помощью дюбель-гвоздей. Получившиеся пространства следует заполнить смесью, а далее выполнять работы посредством правила по той же схеме, что и штукатурка по маякам.

Штукатурка оконных проемов

Приступая к отделке оконного проема, важно учитывать то, что окна не всегда устанавливаются идеально, соответственно, стена и окно могут не находиться в одной плоскости. Если окно поставлено вне плоскости, то его откосы не будут равными по своим параметрам, в том числе глубине. Данный факт может вызвать определенные трудности при выполнении штукатурных работ. Идеальные откосы получаются только при условии правильной установки оконной рамы. Основным инструментом для проведения работ является металлический треугольник. Одну его сторону прислоняют к стене, за вторую тянут, выравнивая нанесенный слой штукатурки.

Критерии качества выполненных работ

Оштукатуривание откосов можно считать качественным, если:

• налицо целостность откосов;

• соблюдена отвесность, углы составляют 90 градусов;

• не превышена допустимая норма погрешности, равная 1 градусу.


Вышеописанный способ оштукатуривания откосов дает возможность добиться ровных углов и сэкономить время. При этом следует помнить об уязвимости оштукатуренных углов, особенно в дверных проемах. Для укрепления данных мест рекомендуется при проведении штукатурных работ устанавливать угловые планки.

Угол поворота

А

вращение

это

трансформация

в плоскости, которая поворачивает каждую точку фигуры на определенный угол и направление относительно фиксированной точки.

Неподвижная точка называется

центр вращения

.

Величина поворота называется углом поворота и измеряется в градусах.

Вы можете использовать

транспортир



для измерения указанного угла против часовой стрелки.

Рассмотрим рисунок ниже.

Здесь,

Δ

А

‘

B

‘

О

получается вращением

Δ

А

B

О

от

180

°

о происхождении. Обратите внимание, что оба

А

О

А

‘

а также

B

О

B

‘

прямые.

Так,

м

∠

А

О

А

‘

знак равно

180

°

знак равно

м

∠

B

О

B

‘

.

Пример:

Сколько степеней имеет

Δ

Икс

Y

Z

был повернут против часовой стрелки, чтобы получить

Δ

Икс

‘

Y

‘

Z

‘

?

А

.

90

°

B

.

180

°

C

.

270

°

D

.

360

°

Определите соответствующие вершины вращения.

Икс

(

—

6

,

2

)

→

Икс

‘

(

2

,

6

)

Y

(

—

2

,

4

)

→

Y

‘

(

4

,

2

)

Z

(

—

4

,

5

)

→

Z

‘

(

5

,

4

)

Точка вращения — это начало координат, нарисуйте линии, соединяющие одну из точек, скажем

Икс

и это изображение к источнику.

Вы можете видеть, что линии образуют угол

270

°

, против часовой стрелки.

Следовательно,

Δ

Икс

‘

Y

‘

Z

‘

получается вращением

Δ

Икс

Y

Z

против часовой стрелки на

270

°

о происхождении.

Итак, правильный выбор —

C

.

Также обратите внимание, что связь между соответствующими вершинами есть

(

Икс

,

y

)

→

(

—

y

,

Икс

)

который показывает вращение против часовой стрелки

270

°

о происхождении.

Измерьте и классифицируйте угол (геометрия, точки, линии, плоскости и углы) — Mathplanet

Линия, имеющая одну определенную конечную точку, называется лучом и продолжается бесконечно в одном направлении. Луч назван в честь конечной точки и другой точки на луче, например.

$$ \ overset {\ rightarrow} {AB} $$

Угол, который образуется между двумя лучами с одинаковой конечной точкой, измеряется в градусах. Точка называется вершиной

.

Вершина записывается как

$$ \ Измеренный угол CAB $$

В алгебре мы использовали координатную плоскость для построения графиков и решения уравнений.Вы можете наносить линии, отрезки, лучи и углы на координатную плоскость.

В координатной плоскости выше у нас есть два луча

$$ \ overset {\ rightarrow} {BA} \: \: и \: \: \ overset {\ rightarrow} {BD} $$

образуют угол с вершиной в точке B.

Вы можете использовать координатную плоскость для измерения длины отрезка. Точка B находится в точках (-2, -2) и C (1,2). Расстояние между двумя точками составляет 1 — (-2) = 3 единицы.

Углы могут быть прямыми, прямыми, острыми или тупыми.

Угол — это часть окружности, в которой весь круг равен 360 °. Прямой угол равен половине круга и равен 180 °, тогда как прямой угол равен четверти круга и равен 90 °.

Вы измеряете угол с помощью транспортира.

Два угла с одинаковой мерой называются конгруэнтными углами. Конгруэнтные углы обозначены как

.

$$ \ угол A \ конг \ угол B $$

Или может быть показан дугой на рисунке, чтобы указать, какие углы совпадают.{\ circ} $$

Видеоурок

Измерьте размер уголка

Видеоурок: Вращения на координатной плоскости

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем, как найти
вершины фигуры после ее поворота на 90 градусов, 180 градусов или 270
градусов по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно начала координат.Мы также узнаем, как описать
вращение.

Начнем с того, что напомним, что ротация
это тип преобразования, которое поворачивает фигуру вокруг точки или центра
вращение. Нам также нужно будет рассказать о некоторых важных
вещи. Начнем с углов. В этом видео мы рассмотрим
повороты с углами 90 градусов, 180 градусов и 270 градусов. Угол 90 градусов — это прямой угол. Угол 180 градусов — это тип угла
вы бы нашли на прямой.А угол 270 градусов будет выглядеть как
это. Также полезно помнить, что
этот другой угол, созданный из угла в 270 градусов, является прямым углом в 90 градусов.

Обсуждая ротацию,
полезно рассмотреть два разных направления, которые мы используем. Это по часовой стрелке и
против часовой стрелки. Иногда мы можем видеть против часовой стрелки
называется против часовой стрелки. Направление по часовой стрелке будет в
в том же направлении, что и стрелки часов.И поворот против часовой стрелки будет в
противоположное направление.

Центр вращения очень важен
когда мы говорим о поворотах, они определяют положение фигуры. Например, если мы возьмем этот прямоугольник
и поверните его на 90 градусов по часовой стрелке вокруг центра вращения, отмеченного 𝑥, затем изображение
форма после поворота будет выглядеть так. Если вместо этого мы повернем этот прямоугольник на 90
градусов по часовой стрелке и ставим центр вращения на одну из его вершин, затем
изображение будет выглядеть так.Если бы у нас был центр вращения внутри
прямоугольник, то изображение будет выглядеть так. Вот почему это важно, поскольку мы
см. далее в этом видео, чтобы не только описать угол и направление, но и сказать
где будет центр вращения.

И прежде чем мы начнем несколько вопросов. Вот полезный совет, если у вас
трудности с вращениями. Использование кальки может помочь нам увидеть, где
фигуру следует позиционировать после вращения.Хорошая резервная копия, если у нас нет трассировки
бумага для выпечки или пергаментная бумага, которую мы могли бы использовать, чтобы выпечка не прилипала к
противень в духовке. Накладываем кальку или пергаментную бумагу
по рисунку обведите фигуру. А потом, например, если нам нужно было
повернуть на 180 градусов, мы поместим конец нашего карандаша в центр вращения и
поверните кальку вокруг. Тогда мы сможем увидеть, где
появится повернутая форма.А теперь давайте рассмотрим несколько вопросов
где нам нужно провести вращение.

Определите координаты
изображения вершин треугольника 𝐴𝐵𝐶 после поворота на 180 градусов против часовой стрелки вокруг
Происхождение.

В этом вопросе мы выполним
вращение. Итак, мы будем менять форму. Мы будем вращать этот треугольник на
угол 180 градусов. И нам говорят сделать это в
против часовой стрелки, хотя для угла 180 градусов не имеет значения,
направление — по часовой стрелке или против часовой стрелки.Центром вращения здесь является
источник. Это координата ноль, ноль. Итак, давайте продолжим и выполним это
вращение.

Начиная с точки 𝐴, мы видим, что
это расположено с-координатой, равной отрицательной восьмерке, и-координатой, равной семи. Итак, когда мы поворачиваем это на 180 градусов
против часовой стрелки,-координата будет на восьми, а 𝑦-координата будет на
минус семь. Другими словами, все равно будет
движение восьми единиц в 𝑥-направлении.Левее было восемь единиц или
отрицательная восьмерка. А сейчас восемь единиц вправо или
положительная восьмерка. Координата 𝑦 по-прежнему будет семь
единиц прочь. Было положительно семь единиц, а сейчас
отрицательные семь единиц. Мы могли бы обозначить образ вершины как
𝐴 премьер.

Вершина 𝐵 треугольника отрицательна.
три, семь. Итак, когда мы повернем его на 180 градусов, он будет
все еще имеют значение 𝑥-координаты три, на этот раз положительное три, и на расстоянии
семь по оси, на этот раз отрицательные семь.И мы можем обозначить эту новую вершину как 𝐵
основной. В качестве проверки мы можем заметить, что строка
соединение 𝐴 prime и 𝐵 prime также горизонтально, как и линия, соединяющая
𝐴𝐵. Это потому, что наша горизонтальная линия, которая
был повернут на 180 градусов, также будет получена еще одна горизонтальная линия. Наша последняя вершина 𝐶 находится в отрицательной точке.
четыре, три. Таким образом, его изображение, prime, будет на
координата четыре, отрицательная три. И мы смогли завершить рисунок
треугольник 𝐴 простое число 𝐵 простое число 𝐶 простое число.

При вращении объект и его изображение
всегда будет одного размера. Поэтому стоит проверить длину ключей.
чтобы убедиться, что они того же размера, что и исходный объект и его изображение. Мы видим, что как исходная форма
и его изображение имеют длину по горизонтали пять единиц. И оба треугольника имеют перпендикуляр
высота четыре единицы. Вопрос попросил нас написать
координаты изображений вершин. Таким образом, мы можем написать 𝐴 prime как восемь,
минус семь, простое число равно трем, минус семь и 𝐶 простое число равно четырем, минус три.Мы также можем видеть в этом вопросе, что в
при повороте на 180 градусов вокруг начала координат точка 𝐴 с координатой 𝑥, 𝑦 будет
повернут, чтобы получить изображение 𝐴 простые координаты отрицательные 𝑥, отрицательные.

Если мы посмотрим на исходную вершину 𝐴 с
координата отрицательная восемь, семь, изображение 𝐴 prime имело координату восемь, отрицательное
Семь. Точно так же координата 𝐵 при
минус три, семь стали простое число в три, минус семь. Координата 𝐶 при отрицательных четырех, трех
стал 𝐶 простым в четыре, минус три.После поворота на 180 градусов вокруг
происхождение, если значение было положительным, оно становится отрицательным, а если оно было отрицательным, оно
становится положительным. То же самое и с 𝑦-значением. Этот факт может быть полезной проверкой всякий раз, когда
мы проводим такую ​​ротацию. Здесь мы можем указать наши окончательные координаты
за ответ.

В последнем вопросе мы видели, как
Поворот на 180 градусов превращает точку 𝐴 с координатами 𝑥, в точку 𝐴, начертанную с
координаты отрицательные 𝑥, отрицательные.Мы могли бы задаться вопросом, есть ли похожие
правила вращения других размеров. И ответ — да. Для поворота на 90 градусов по часовой стрелке на
начало координат, точка 𝐴 с координатой 𝑥, 𝑦 будет иметь изображение 𝐴 prime, где
-координата — это исходное 𝑦-значение, а 𝑦-координата — исходное отрицательное
𝑥-значение. Мы также можем применить это правило для
Вращение на 270 градусов против часовой стрелки.

Есть еще одно правило для
Вращение на 270 градусов по часовой стрелке.Точка 𝐴 с координатой 𝑥, 𝑦 будет
стать 𝐴 простым, где 𝑥-координата — отрицательное 𝑦 исходное значение, а
-координата — это исходное 𝑥-значение. Это правило также можно применить к
Вращение на 90 градусов против часовой стрелки. Может быть полезно записать эти
правила, поскольку они помогут нам в прохождении. Но нам нужно быть осторожными, чтобы помнить
что эти правила вращения применяются только тогда, когда вращение происходит вокруг начала координат.

В предыдущем вопросе мы тоже видели
другой ключевой момент о вращениях.И это при вращении
объект и его изображение имеют одинаковую форму и размер. Другими словами, они совпадают. А теперь давайте посмотрим на другой
вопрос ротации.

Определите координаты
изображения вершин треугольника 𝐴𝐵𝐶 после поворота на 270 градусов против часовой стрелки вокруг
Происхождение.

В этом вопросе у нас есть ротация,
что означает, что форма собирается повернуться. Точка, в которой он собирается повернуться или
центр вращения — начало координат.Это координата ноль, ноль. Угол поворота составляет 270 градусов и
направление — против часовой стрелки. Так будет выглядеть угол 270 градусов
вот так, и направление будет таким, против часовой стрелки. Это также было бы эквивалентно
Поворот на 90 градусов по часовой стрелке. Итак, вращение на 270 градусов против часовой стрелки
отправит наш треугольник в этот квадрант.

Давайте начнем с рассмотрения нашей точки 𝐴
и определение того, как далеко он находится от нашего центра вращения.Отрицательные семь единиц по оси.
и отрицательные три единицы по оси. Если рассматривать это как 90-градусный
по часовой стрелке, то он все еще будет на расстоянии семи единиц, но на этот раз по оси и
три единицы, или, скорее, на этот раз отрицательные три единицы на оси. Мы можем обозначить эту новую точку изображения
как 𝐴 prime. Точка 𝐵 находится под минусом три на
Ось и отрицательные четыре на оси. А после поворота будет три
единицы по оси и отрицательные четыре по оси.Мы можем обозначить это как 𝐵 prime и создать
отрезок 𝐴 prime 𝐵 prime.

Для нашей последней точки, 𝐶, мы видим, что
это по координате минус шесть, минус пять. Таким образом, поворот будет на шесть
единиц по оси и отрицательные пять по оси. Как только мы соединили вершины,
всегда стоит проверять, что размеры оригинала и изображения совпадают
размер. Например, линия 𝐴𝐶 — это две единицы.
вниз и одна единица поперек.И прямая 𝐴 prime 𝐶 prime также
две единицы на одну единицу. Мы также можем сравнить прямые 𝐵𝐶 и 𝐵
prime 𝐶 простое число, заметив, что оба они равны три единицы на одну единицу.

При ответе на этот вопрос мы могли
также использовали правило, согласно которому вращение на 270 градусов против часовой стрелки вокруг начала координат означает
что точка 𝐴 с координатами 𝑥, 𝑦 будет иметь изображение 𝐴, простое с координатами 𝑦,
отрицательный 𝑥. Итак, если мы возьмем нашу вершину 𝐴 с
координаты отрицательные семь, отрицательные три, затем найти координаты изображения 𝐴
простое,-координата будет такой же, как исходная 𝑦-координата, и чтобы найти
-координата, это будет то же самое, что и исходная 𝑥-координата, но с переключенным
знак.Итак, здесь 𝐴 простое число — это отрицательная тройка,
Семь. Из нашей диаграммы видно, что это
действительно координата вершины простая.

Таким же образом вершина 𝐵 с
координата отрицательная три, отрицательная четверка становится вершиной 𝐵 prime, где 𝑥-координата
— исходная 𝑦-координата, а значение будет отрицательным по отношению к тому, что было
исходное значение 𝑥. И мы действительно обнаружили, что простое число
при минусе четыре, три. Мы также можем видеть, используя это правило и
также диаграмма, в которой простое число находится в отрицательных пяти, шести.Затем мы можем перечислить координаты
изображение вершин 𝐴 простое, 𝐵 простое и 𝐶 простое.

В первых трех вопросах мы
дали поворот и попросили его провести. Теперь мы рассмотрим случай
где нам дана схема вращения, и нам нужно ее описать. При описании вращения одна из
Первое, о чем нам нужно подумать, это угол, под которым осуществляется вращение.
вне. Нам также нужно будет описать направление
вращения.Мы могли бы заметить на нашей диаграмме, что там
угол поворота 90 градусов, но мы также должны сказать, что это было по часовой стрелке
направление. Таким образом, у нас получится поворот на 90 градусов по часовой стрелке.
вращение здесь. Мы могли бы также описать это как
Вращение на 270 градусов против часовой стрелки.

Но есть еще одна последняя часть
информация, которую нам также необходимо включить при описании вращения. И это констатировать центр
вращение. В этом примере центр вращения
будет здесь, в начале координат ноль, ноль.Соединив все вместе, мы могли бы
описать это как вращение на 90 градусов по часовой стрелке вокруг начала координат или как на 90 градусов по часовой стрелке.
вращение вокруг начала координат. Теперь рассмотрим вопрос, в котором мы
описывают вращение точки.

Треугольник, построенный по координатам
плоскость имеет вершину в шесть, ноль. Какие из следующих поворотов
переместить вершину в нулевую точку, шесть? Вариант (A) на 90 градусов по часовой стрелке вокруг
Происхождение. Вариант (B) 90 градусов против часовой стрелки
вокруг происхождения.Или вариант (C) 180 градусов по часовой стрелке или
против часовой стрелки вокруг начала координат.

Мы могли бы начать этот вопрос с наброска
где будет исходная вершина. Нам говорят, что эта вершина находится в шестом,
нуль. Назовем эту исходную вершину 𝐴. Изображение этой вершины после
вращение на нуле, шесть. Назовем это 𝐴 простым. Итак, как бы мы описали вращение
от 𝐴 до 𝐴 премьер? Напомним, что для описания
вращения, нам нужно сказать три вещи: угол, направление и центр
вращение.Если бы мы нарисовали угол между 𝐴
и 𝐴 prime, мы увидим прямой угол в 90 градусов.

По направлению, направление
то, что противоположно тому, в котором стрелки поворачиваются на часах, называется против часовой стрелки,
и это направление, которое мы видим здесь. Центр вращения будет началом координат
или координата ноль, ноль. Чтобы поместить эти три части информации
вместе, мы бы сказали, что это поворот на 90 градусов против часовой стрелки вокруг
источник.Но есть еще один способ, которым мы
мог выполнить это вращение. И это то, что мы могли уйти от
вершины 𝐴 к 𝐴 простыть, пройдя в противоположном направлении под углом 270
градусов.

Здесь центр вращения будет иметь
остался прежним, но мы бы описали вращение как вращение на 270 градусов по часовой стрелке.
вокруг происхождения. Однако из этих двух описаний
только один появляется в наших вариантах ответа.И это тот, который указан в варианте (B),
поворот на 90 градусов против часовой стрелки вокруг начала координат.

Теперь подведем итоги ключевых моментов
это видео. Мы узнали, что вращение — это
преобразование, которое поворачивает фигуру вокруг центра вращения. Угол поворота может быть любым.
размер. В этом видео мы особенно внимательно рассмотрели
повороты на 90 градусов, 180 градусов и 270 градусов. Мы увидели, что есть два направления,
мы используем при обсуждении вращения по и против часовой стрелки.Мы видели, что при вращении объект
и его образ совпадают. Это означает, что они одинаковой формы и
размер. Мы видели три разных правила того, как
координаты вершины меняются при поворотах вокруг начала координат. И, наконец, мы увидели, что когда мы
описывая вращение, нам нужно указать угол, направление и центр
вращение.

Координатная геометрия: вращения на координатной плоскости

Это наше последнее видео в серии о координатной геометрии.Здесь мы исследуем вращения на координатной плоскости.

В предыдущем видео я говорил об отражениях в x-y (координатной) плоскости. Иногда тест также спрашивает о поворотах на координатной плоскости.

В этих случаях центр вращения почти всегда будет исходной точкой, а угол будет либо 90 градусов, так или иначе, либо 180 градусов.

Сначала подумайте о квадрантах. Любая точка, которая поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке, пойдет вниз по квадранту.

_{Изображение natchapohn}

Если он в квадранте IV, он перейдет в III, из III он перейдет во II, из II он попадет в I, из I он перейдет в IV, это направление по часовой стрелке От IV к III до II к I, обратно к IV. Любая точка, которая поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки, поднимется по квадранту. Итак, если он находится в I, он будет перемещен во II, из II в III, из III в IV и из IV обратно в I.

Итак, I, II, III, IV обратно в I, это направление против часовой стрелки. вращение.Любая точка, вращающаяся на 180 градусов, переместится в противоположный квадрант. Таким образом, мы переключаемся между I и III или переключаемся между II и IV. Теперь мы можем быть более точными.

Перпендикулярные уклоны

Вспомните обсуждение перпендикулярных уклонов несколько уроков назад.

Для поворота на 90 градусов в любую сторону, расстояния по оси x и расстояния по оси y меняются местами. Мы видим треугольник, у фиолетового треугольника есть горизонтальная ножка, длинная горизонтальная ножка и короткая вертикальная ножка.Когда мы поворачиваем его на 90 градусов, все горизонтальное становится вертикальным, а все вертикальное становится горизонтальным. Таким образом, горизонтальный и вертикальный переключатель поворачиваются на 90 градусов.

Новое значение x имеет то же абсолютное значение, что и старое значение y, и наоборот. Мы должны продумать знаки плюс и минус для новых координат на основе квадрантов.

Когда мы поворачиваемся на 180 градусов, правило становится еще проще. Если исходная точка, любое место в плоскости x-y поворачивается на 180 градусов.Тогда координаты x и y новой точки будут иметь одинаковое абсолютное значение и просто противоположные знаки плюс и минус.

Вращения на координатной плоскости: пример

Итак, предположим, что у нас есть эти точки. Подумайте, что произойдет, если мы повернемся на 180 градусов вокруг начала координат. Что ж, положительные 5 и положительные 3 просто станут отрицательными. 4, -1 станет -4, положительное значение 1, а два отрицательных значения станут 2 положительными. Итак, это будут три изображения с поворотом на 180 градусов.Иногда нам нужно знать, что происходит с координатами отдельных точек, когда мы вращаемся.

Использование визуального мышления

В других вопросах нам просто нужно использовать наши способности визуального мышления. Если данную форму повернуть, скажем, на 180 градусов, каково будет ее новое положение и новая ориентация? Так что на самом деле формулы для этого нет, мы должны использовать визуальные рассуждения. Если вам это сложно, потренируйтесь. Например, нарисуйте или, может быть, найдете в журнале асимметричные фигуры, что-то явно асимметричное.

Посмотрите на него с одной стороны, а затем попытайтесь набросать или представить, как бы он выглядел, если бы он повернулся на 90 градусов по часовой стрелке или против часовой стрелки или повернулся на 180 градусов. А затем поверните фигуру и посмотрите, насколько близко вы были. Так что сначала сделайте набросок там, где вы его представляете, а затем фактически поверните фигуру и посмотрите, насколько близко вы были.

Практическая задача

Вот практическая задача.

Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом. Итак, эта фигура находится в первом квадранте, мы собираемся повернуть ее на 180 градусов.Это означает, что он попадет в третий квадрант. Итак, сразу мы знаем, что этого не будет во втором квадранте. А если он повернется на 180 градусов, он перевернется. Итак, эти две длинные стороны прямо сейчас направлены вниз.

Если он перевернут на 180 градусов, они будут указывать вверх, и поэтому ответ будет D. Тест попросит нас повернуть объекты в плоскости xy, почти всегда на 90 градусов, 90 градусов по часовой стрелке, 90 градусов. против часовой стрелки или на 180 градусов и почти всегда вокруг начала координат, так что это упростит задачу.Тест может дать нам координаты любой точки и попросить найти координату новой повернутой точки.

Или тест может просто дать нам форму или фигуру в одном квадранте и попросить нас визуализировать, как она будет выглядеть при повороте.

О Майке MᶜGarry

Майк создает экспертные уроки и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах.Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидных черепных дефектов, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс.

Измерение углов

Измерение углов

Понятие угла

Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии. Понятия равенства, сумм и разностей углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .

Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью.Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7,5 & deg.

Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x — ось, а другая сторона — над осью x .

Радианы

Краткая заметка об истории радианов

Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей работе Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией.

e ^iθ = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги

Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора

Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, когда он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга равна πr ² , а сектор относится ко всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтому

Углы общие

Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в терминах π . Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .
.

Упражнения

Эдвин С.Кроули написал книгу Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии, Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.

(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.

2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.

(а). 0,47623.

(б). 0,25412.

3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.

(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.

(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.

4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, стянутый в центре.

(а). l = 0,16296, r = 12,587.

(б). l = 1,3672, r = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.

(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623 разделить на π и умножить на 180 дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.

9. У вас получился круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

ответы

1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.

(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.

5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.

(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет
2102,5 a — 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.

23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.

Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, так как ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

Как запустить мяч, чтобы достичь наибольшего расстояния?

В эпизоде ​​«Движение снаряда» телеканала NBC Learn «Наука о футболе НФЛ» вы видите, что мячи с иглами движутся по дуге, известной математикам как парабола.

В любом футбольном матче обе команды сражаются друг с другом, а также с общим противником — гравитацией. Гравитационное притяжение Земли делает передачу на дальние дистанции сложной задачей и сбивает даже самые сильные удары пантов и метких ударов.

Поскольку сила тяжести постоянна, опытные квотербэки и кикеры могут учитывать ее эффекты, чтобы максимально эффективно перемещать мяч вниз по полю. Как и все снаряды, футбольный мяч, будучи выпущенным, следует по траектории, известной в математических терминах как парабола — симметричная дуга, которая в конечном итоге возвращает мяч обратно на землю. (В реальной жизни на полет снаряда влияет не только сила тяжести, но и ветер, и сопротивление воздуха, поэтому парабола не будет идеальной.)

Параболы изучались тысячелетиями, и их свойства хорошо изучены.Для любого снаряда, находящегося под действием силы тяжести, расстояние, достигаемое во время его полета, равно sin (2θ) X v² / g, где v — начальная скорость снаряда, g — ускорение к Земле под действием силы тяжести и θ — угол запуска снаряда.

Это может выглядеть как сложное уравнение, но пару переменных можно игнорировать. Во-первых, поскольку сила тяжести постоянна, г и будут одинаковыми независимо от того, как игрок пинает по мячу.Во-вторых, для игрока, пытающегося как можно глубже забить мяч, вы можете предположить, что он бьет так сильно, как может физически, поэтому против зависит просто от того, насколько сильно он может ударить, а не от какого-либо стратегического решения для данного конкретного случая. плоскодонка.

Единственный выбор, который он должен сделать, чтобы увеличить расстояние, — это угол, под которым он бьет по мячу. Из приведенного выше уравнения видно, что расстояние, пройденное мячом, будет наибольшим, когда sin (2θ) наибольший. Синусоидальная функция достигает своего наибольшего выходного значения, 1, с входным углом 90 градусов, поэтому мы можем видеть, что для пантов с наибольшим радиусом действия 2θ = 90 градусов и, следовательно, θ = 45 градусов.Другими словами, снаряд летит дальше всего, когда он запущен под углом 45 градусов.

Но как насчет попытки увеличить высоту снаряда для увеличения времени зависания? В параболе максимальная высота, достигаемая снарядом, равна (sin (θ)) ² X v² / 2g. Еще раз, мы можем игнорировать v и g, по тем же причинам, что и выше. (Любой, кто хочет поднять снаряд как можно выше, просто запустит его как можно быстрее, а гравитация постоянна.)

Итак, чтобы отправить снаряд так высоко, как он может лететь, вы можете увидеть, что вы хотите сделать ( sin (θ)) ² как можно больше, что означает просто сделать sin (θ) как можно большим.Как упоминалось выше, синусоидальная функция достигает своего наибольшего выходного значения, 1, с входным углом 90 градусов, поэтому мы можем видеть, что для заоблачной высоты θ = 90. Это означает, что лучший способ запустить высотный Снаряд должен отправить его под углом 90 градусов к земле — прямо вверх.

Конечно, вертикальная плоскодонка не очень помогает с положением на поле, поэтому вряд ли в ближайшее время вы увидите на футбольном поле плоскодонку под углом 90 градусов. Во всяком случае, не специально.

Unit Circle — Wyzant Lessons

Написано наставником Шу Джен В.

На приведенном выше рисунке показан график единичной окружности на оси координат X — Y.
Из графика видно, что единичная окружность определяется как имеющая радиус (r) = 1.

При переходе от квадранта I к квадранту IV против часовой стрелки координаты на оси единичной окружности равны:

(1, 0), (0, 1), (-1, 0) и (0, -1)

Это важно помнить, когда мы определяем координаты X и Y вокруг единичной окружности. Единичный круг составляет 360 °.На приведенном выше графике единичный круг разделен на 4 квадранта, которые разделяют единичный круг на 4 равные части. Каждая деталь точно под углом 90 °.

Вопрос: Почему каждая секция / квадрант равен 90 °?

Также можно показать, что единичный круг состоит из четырех углов 90 °, что в сумме составляет 360 °:

Теперь мы собираемся разделить единичный круг на углы 30 °, 45 ° и 60 °. Это особые углы, которые очень важно запомнить.

Начнем с квадранта I, так как это основы, а координаты X и Y положительны.См. ниже.

Затем мы переходим к квадранту II, который начинается с 90 ° и продолжается до 180 °. На диаграмме ниже каждый угол в квадранте II составляет 30 °, 45 ° и 60 ° внутри этого квадранта. Однако, так как углы имеют точку отсчета на отметке 0 ° в квадранте I, они маркируются в соответствии с углом, который они составляют от квадранта I до квадранта II. Например, 45 ° в квадранте II обозначено как 135 °, потому что это угол, который он составляет от 0 ° в квадранте I до угла 45 ° в квадранте II. Кроме того, из графика видно, что угол 45 ° в квадранте II попадает между 90 ° и 180 ° на единичной окружности.Это делается для углов 30 °, 45 ° и 60 ° в каждом квадранте. См. ниже.

График ниже показывает градусы единичной окружности во всех 4-х квадрантах от 0 ° до 360 °.

Теперь мы добавим радианы к единичной окружности. Радианы — это стандартная единица измерения угла.
Формула для вычисления радианов:

Мы будем вычислять радианы для каждого градуса на единичной окружности, отмеченной выше.

На приведенном ниже графике показаны радианы во всех 4-х квадрантах с соответствующими углами.В этой статье объясняется простой способ запоминания точек на единичной окружности.

Затем мы определим точки координат X и Y на единичной окружности. Чтобы сделать это, нам необходимо понять отношение специальных прямоугольных треугольников 30 — 60 — 90 и 45 — 45 — 90 градусов к координатной плоскости. Эти прямоугольные треугольники очень важно помнить, потому что они обладают определенными свойствами, которые пригодятся при решении тригонометрических функций.

Ниже показаны прямоугольные треугольники 30-60-90 и 45-45-90 градусов в квадранте I.

Эти треугольники также могут быть представлены в других 3-х квадрантах, за исключением того, что X и Y могут менять знак в зависимости от квадранта. Например, на графике ниже показан прямоугольный треугольник 45-45-90 градусов во всех 4-х квадрантах. Обратите внимание, что углы треугольников по-прежнему составляют 45 ° независимо от того, в каком квадранте они находятся, но координаты X и Y меняют знак. Например, обратите внимание, что в квадранте III и X, и Y отрицательны. Также обратите внимание, что r = радиус круга = гипотенуза треугольника .Эта информация используется для определения координат X и Y на единичной окружности.

При решении относительно X, Y или r в треугольнике 90 ° мы можем использовать теорему Пифагора.

X ² + Y ² = r ² (теорема Пифагора)
Справа теорема Пифагора используется для определения радиуса угла 45 °.
Итак, для угла 45 ° мы имеем X = 1, Y = 1, и r = √2
Кроме того, X и Y в терминах радиуса и угла могут быть записаны как:

X = r * cosΘ и Y = r * sinΘ
Если заданы r и Θ, то можно найти координату X.

Далее мы определим тригонометрические функции:

Давайте решим тригонометрические функции для треугольника 45-45-90 градусов и определим координаты X-Y:

После решения для cos45 ° и sin45 °, давайте определим точки координат X и Y для единичной окружности.
Поскольку X = r * cosΘ, Y = r * sinΘ, и r = 1
Для Θ = 45 ° , мы имеем X = 1 * cos45 ° = ^√2 / ₂ и Y = 1 * sin45 ° = ^√2 / ₂

Ниже приведен график координат X и Y для угла 45 °:

Давайте решим тригонометрические функции для треугольника 30-60-90 градусов и определим координаты X — Y:

Ниже приведены графики координат X и Y для углов 30 ° и 60 °:

В таблице ниже показаны точки координат X, Y, связанные с градусами на единичной окружности.

Ключевые формулы, которые следует запомнить:
X = r * cosΘ
Y = r * sinΘ
На единичной окружности Радиус (r) = 1
Теорема Пифагора: X ² + Y ² = r ²

Особых прямоугольных треугольников:

На приведенном ниже графике показаны координаты X и Y на единичной окружности.Обратите внимание, что в квадранте I точки координат X и Y положительны. Однако в квадранте II координата X отрицательна, а координата Y положительна. В квадранте III и X, и Y отрицательны, а в квадранте IV X положительный, а Y отрицательный.

Каков радиус единичной окружности?

Правильный ответ здесь: B .

Сколько градусов в единичном круге?

Правильный ответ здесь: A .

В каком квадранте находится 135 °?

Правильный ответ здесь: B .

В каком квадранте находится 315 °?

Правильный ответ здесь: D .

Чему равен 150 ° в радианах?

Правильный ответ здесь: C .

Чему равен 240 ° в радианах?

Правильный ответ здесь: D .

Чему равен 180 ° в радианах?

Правильный ответ здесь: B .

Каковы координаты X, Y для угла 45 ° на единичной окружности?

Правильный ответ здесь: A .